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146
Capítulo
4.
Ecuaciones Diferenciales Lineales
de
Segundo Orden
2. Al deri var una función exponencial, la función "casi no cambia". Si
g(x)
=
ea,
entonces
g'(x)
=
ae
ax
=
ag(x).
La derivada es casi la función
9
(salvo por la
constante multiplicativa
a).
3. Si derivamos
g(x)
=
senmx pasamos al coseno:
g'(x)
=
mcosmx.
Si derivamos
g(x)
=
cosmx
pasamos al seno:
g'(x)
=
-m sen
mx .
Si derivamos dos vecesg(x)
=
senmx regresamoscasiag(x),
g"(x)
=
-m'senmx.
Si derivamos dos veces
g(x)
=
cosmx regresamos casi
ag(x), g"(x)
=
-m'cosmx.
Luego, es razonable pensar que una solución particular de (4.29) tendrá la misma
forma que
g(x),
excepto cuando
9
es una solución de la ecuación homogénea.
En esencia, el método consiste en proponer una solución particular de (4.29) que
contenga uno o más coeficientes desconocidos. Entonces sustituimos esta solución pro–
puesta en la ecuación diferencial y escogemos los coeficientes de tal manera que la función
efectivamente satisfaga la ecuación.
A continuación discutiremos algunos casos para hallar una solución particular de
(4.29), dependiendo de la forma de
g(x).
CASO 1.
g(x)
=
P,,(x)
=
anx n
+
a,, _1x,,- 1
+ ... +
a1X
+
ao·
En este caso la ecuación diferencial (4.29) toma la forma
d'y b dy
n
,,- 1
adx'
+
dx
+
cy
=
a"x
+
an_IX
+ ... +
a1 X
+
ao·
Proponen.os una solución particular de la forma
Sustituyendo
YP'
y~
y
y;
en (4.30) resulta
a[n(n
-
1)A"x n -'
+ ...
+
2A,J
+
b[nAnxn-1
+ ... +
Arl+
(A n
+
A
n-1
+
A
)
n
n-1
e
nX
n-1X
".
+
o
=
anx
+
an_ IX
+ ...
+
aO
l
o equivalentemente
y comparando coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones
cAn
a
n
nbAn
+
cA n _ 1
=
a n - 1
2aA,
+
bA1
+
cAo
=
ao·
(4.30)
