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4.5. Ecuacion es Diferenciales Lineales
de Orden
n
143
Solución. La ecuación auxiliar es
r
4
+
Sr
2
+
16
O
(r
2
+
4)2
O.
Entonces, las raíces características son en este caso
r¡
=
2í
Y
r2
= -
2í de mult iplicidad
dos, cada una de ellas . Correspondientemente tenemos las cuatro soluciones l.i .
y¡(x)
~
cos2x, Y2(X)
=
sen2x,
Y3(X)
=
xcos2x, Y4(X)
=
x
sen 21: .
Por lo tanto la solución general de (4.25) es
y(x)
=
c¡
cos 2x
+
c2sen 2x
+
x(c3cos2x
+
c4sen 2x).
EJEMPLO
4.
Resolver
y(4) _
2y'"
+
2y"
-
2y'
+
Y
=
O.
Solución. La ecuación auxiliar es
cuyas raíces son
r
4
-
2r 3
+
2r 2
-
2r
+
1
O
(r
-
1)2(r 2
+
1)
O,
r¡
=
1,
de mul tiplicidad dos ;
r2
=' ,
de multiplicidad uno;
r3
= -',
de multiplicidad uno.
De donde, la solución general de (4.27) es
y(x}
=
c¡e x
+
C2xex
+
c3sen x
+
C4
cosx.
EJEMPLO
5.
Resolver
(4.27)
y (8) _
lO
y
( 7)
+
46
y
( 6) _
106y(5)
+
S8y(4)
+
146y'"
-
350y"
+
98y'
+
343y
=
O.
(4.2S)
Solución. La ecuación auxiliar es
r
8
_
lOr
7
+
46r
6
-
106r
5
+
S8r
4
+
146r 3
- 350,.2
+
98r
+
343
=
O
O
(r
+
I f(r
2
-
4r
+
7)3
O
