Página 135 - Coordinación de Servicios de Información
Versión de HTML Básico
4.3. Ecuaciones
Diferenciales
de Segundo Orden
con Coeficientes Constantes
133
4.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Or–
den Homogéneas con Coeficientes Constantes
En esta sección estudiaremos la ecuación diferencial de la forma
ay"
+
by'
+
ey
=
0,
donoe
a,
b,
e
E
IR Y
a
#
O.
Para este tipo de ecuaciones proponemos una solución de la forma
y(x)
=
e'".
Entonces
y'(x)
=
re'",
y"(x)
=
r'e'"
y sllstituyendo en la ecuación (4.1 8) resulta
ar
2
e n ;
+
bre
rx
+
ce
rx
O
e'"(ar'
+
br
+
e)
O.
Luego, si
T
es una raíz de la ecuación
ar'
+
br
+
e
=
0,
(418)
(4.19)
llamada ecuac ión auxiliar o ecuación caracte rís tica, la función
y
=
e
r x
es una
Solllción
C!"
(4. 18). Debemos considerar tres casos , según sean las raíces características:
r"".I,'s y distintas, reales e iguales o complejas.
CASO
l.
Si TI Y
r,
son raíces reales y distintas entonces
YI (x)
=
e" x
y
y,(x)
=
e'"
son
d, IS StllllCiOlH'S linealmente independientes de la ecuación diferencial (4.18), de donde su
SOlllCiúll gClH'n1.l es
CASO
2. Si
I ,,~
m ÍC'cs son reales e iguales entonces rl
=
r ,
=
_.!!...
=
r. Así que, una
2a
so!tlci,',n d,' (4. 18) es
YI(")
=
e'·x.
POd(,lIlllS
('ll("(mí,rar
\lila
segullda solución
Y2
linealmente independiente
con
y¡
emple–
and tl la I('¡ruml" (4. 15), dellllétodo de reducción de orden estudiado en la sección anterior.
T (' w 'llloS
