4.2. Solución
de
la
Ecuación
Homogénea
127
Para este tipo de ecuaciones, el siguiente teorema garantiza la existencia de una sol ución
única.
Teorema 4.2.1
Sean ao(x),al(x),a,(x),f(x), funciones continuas en un intervalo
J
y
supóngase que a,(x)'
#
O
para toda x
E
J .
Si Xo es cualquier punto en
J,
entonces exis te
una y sola una solución y(x) de la ecuación diferencial
d'y
dy
a,(x) dx'
+
al(x) dx
+
ao(x )y
=
f(x),
que satisface las condiciones iniciales
y(xo)
Yo ,
y'(xo)
Yl,
donde Yo,
Yl
son constantes arbitrarias .
Definición 4.2.2
La ecuación diferencial
d'y
dy
a,(x) dx'
+
al(x )dx
+
ao(x)y
=
O
(4.6 )
que se obtiene de
(4.5)
haciendo f(x)
=
O,
se llama ecuación homogénea, reducida
o
complementaria.
Si la función
f(x)
no es idénticamente nula, entonces la ecuación
(4.5)
recibe el nombre
de
ecuación no homogénea .
Para hallar la solución de la ecuación (4.5) es necesario resolver la ecuación homogénea
asociada (4.6 ). Por esta razón veremos primero algunos resultados concernientes a la
solución de esta última.
4.2.1 Solución de la Ecuación Homogénea
Teorema 4.2.2
Si
Yl
(x) Y y,(x) son soluciones de la ecuación diferencial
(4.6)
entonces
la combinación lineal y
=
C1Yl(X)
+
c,y,(x) también es solución de
(4. 6) ,
donde
Cl
Y
c,
son números reales
o
complejos cualesquiera.
El teorema anterior nos dice que si
Yl,
y,
son soluciones de (4.6 ), entonces es posible
elaborar un número infinito de soluciones de dicha ecuación , de la forma
C1Yl
(x) +c, y,(x) ,
con
Cl,
c,
constantes. Una pregunta natural sería si esta infinidad de soluciones incluye
a todas las soluciones posibles de (4.6). La respuesta a esta pregunta es s i, pero siempre
y cuando
Yl y
y,
sean l. i.
Hacemos la siguiente definición.
Definición 4.2.3
Si
Yl
Y y, son dos soluciones de la ecuación
(4·6),
que además son
linealmente independientes en un intervalo
J,
entonces decimos que
Yl
y y, constituyen
un conjunto fundamental de soluciones de
(4. 6)
en
J.
1...,119,120,121,122,123,124,125,126,127,128 130,131,132,133,134,135,136,137,138,139,...252