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4.1. Concep tos Básicos 125
se le llama el wronskiano de f (x) y g(x) y se denota por W (J(x),g(x)) o W (J,g) El
valor de W (J,g) en el punto x se indicará por W (J,g)(x) o simplemente W (x).
Para determinar si dos funciones son Li . podemos emplear el siguiente t,eoren",.
Teorema 4 .1.1 Sean f y 9 funciones derivables en un intenJalo J . Si el wl'071sktanu
W (J, g) es diferente de cero en por lo menos un punto Xo del intervalo J, entonces f y 9
son linealmente independientes en J.
Demostración. Haremos la demostración por cont radicción. Supóngase que W (J, g)(xo) =J
O para a lgún Xo fij o en el intervalo J y que f y 9 son linealmente dependientes en J. En–
tonces existen constantes C¡ y C2 no ambas cero tales que
c¡f(x) + C2g(X) = 0, (4.3)
para todo x en J. Derivando (4.3) resulta
c¡J'(x) + c2g'(X) = O. (4.4 )
Luego, el sistema de ecuaciones (4.3)-(4 .4 ) tiene una solución diferente de la trivial para
cada x en J, por lo cua l
W x -1 f(x) g(x ) 1- O
(J, g)( ) J'(x) g'(x) - ,
para' todo x en J . Esto contradice la hipótesis de que W (J,g)(xo) el O. Por lo tanto se
concluye que f y 9 son linealmente independientes en J.
EJEMPLO 3. Demuestre que las funciones f(x) = eX y g(x) = e-x son Li. en IR.
Solución. Ya que
para todo x en IR, del Teorema 4. 1.1 se concluye que f y 9 son Li . en IR.
Finalizaremos está sección recordando a lgunas nociones muy elementales sobre los
números complejos.
Un número complejo z puede representarse en la forma z = a + bi donde a , b E IR
se denominan parte real y parte imaginaria de z, respectivamente y el símbolo i denota
a l número imaginario puro que tiene la propiedad de que ;2 = - l .
La igualdad ;2 = - 1 nos permitirá obtener raíces de números negativos , puesto que
±; = A Por ejemplo
R = ~=J4R = ±2; ,
J-25 ) 25(- 1) = J25R = ±5;