Página 132 - Coordinación de Servicios de Información
Versión de HTML Básico
130
Capítulo
4.
Ecuaciones Djferenciales Lineales
de
Segundo
Orden
la cual es ahora de primer orden para la función incógnita
u.
Es por esta razón que
al método que estamos desarrollando para calcular
Y2
se le conoce como Método de
Reducción d e Orden.
La ecuación (4. 13) es lineal en
u
y
también de variables separables. Separando varia–
bles tenemos
du
(
2Y ' )
u
= -
p(x)
+
y;'
d
- p(x)
-
2
dx (In y¡),
e integrando
y
simplificando, obtenemos
In u
= -
J
p(x)dx
-
2 ln y¡ + ln c
In u
=
In cy¡2 -
J
p(x)dx,
donde e es una constante arbitraria. Aplicando exponencial a ambos lados de la última
igualdad encontramos que
Por consiguiente
u(x)
=
c2e -
fp (xldx.
y¡
v(x)
=
cJ
_ 1_e- Jp(xldxdx.
y¡(x)
Tomando c
=
1 tenemos el siguiente resultado.
Teorema 4.3.1 Si
y¡ (x) es solución de la ecuación diferencial
y"(x)
+
p(x)y'(x)
+
q(x)y(x)
=
O,
(4. 14)
entonces una segunda solución Y2(X) de
(f. 14)
linealmente independiente con y¡(x) es
J
e-
J p(xldx
Y2(X)
=
y¡(x)
y?(x) dx .
EJEMPLO
1.
Dado que
y¡(x)
=
x - 2
es solución de la ecuación diferencial
x2y"
-
7xy'
-
20y
=
O,
encuentre su solución general en el intervalo (0,00).
(4 .15)
(4.16)
Solución. Verifiquemos que
y¡
(x)
es solución de la ecuación diferencial (4 .16) . Tenemos
que
"() 6 -'
y¡ x
=
x .
