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124 Capit ulo 4. Ecuacioll es Diferencia.les Linea.les de Segundo Orden
para todo .c eu J. Por lo ta nto, las fu nciones f .Y q son J. eJ. eu J puesto que a l menos una
ele las eons t.an tcs es elifereute de cero (el = - 1).
Concluilllos C'lltOI1(,ps q 11C' clos [rlll cioIJes SOlJ l.i , f'1I un intervalo J cua.ndo ninguna es
1111 1T11íltip/o ronstant~ de la ot.n¡, en l .
EJEMPLO 1. Muest.re que las siguieut.es parejas de fu nciones son J.d . en IR.
a) f (x) = 1: , q(J') = - 2x .
b) f reE) = e' , g(x) = 1e' .
e) f (x) = 1:2 , g(1:) = - V2:c2
Solución. Eu cada inciso, las parej as de funciones son claramente J.el . en IR ya que una
('S 1111 1Il1'ilt.iplo ('scalar d(' la o tra. En efecto, tenemos que
a) g(. / ) = - 2f (1), o equ ivaleutemeut e 2f( 1:) + g(x ) = O para todo x E IR.
b) g(1) = U(x), Ó U(1:) + (- I )g(1:) = O para todo x E IR.
e) g(1:) = -V2f (:r ), ó V2f (1: ) + g(x) = O para todo x E IR.
EJEMPLO 2. Compruebe que las funciones f(1:) = 1: Y g(1: ) = 1:2 son J.i . en IR .
Solución. Supóngase por contradicción que f y 9 son J.d. en IR, es decir que existen
cO llstallt,es Cl Y e2 no s imultáneamente nulas tales que
1: E IR. (4.1)
Si deri vamos (4. 1) con respecto a 1: obtenemos
x E IR. (4.2)
Luego, el sistema el e ecuaciones lineales (4. 1)-(4.2) tiene una solución no nula (Cl # .0
ó C2 # O). De á lgebra sabemos que para un s istema homogéneo, ésto es posible solamente
s i el eleterminaut.e elel sist ema es cero. Así que
para todo CE en IR.
Por consiguiente, la supos ición ele que las funciones f( x) = x Y g(1:) = 1:2 son J.d . en
IR nos llevó a concluir que 1:2 = O para todo 1: en IR, lo cua l claramente es falso. Esto nos
muestra. que f y 9 son linea.lmente independientes en IR.
Podemos gcucralizar las ideas expuestas en el ejemplo 2. Primero hacemos la definición:
D e finición 4.1.3 Seun f y 9 fun cion es derivables en el intervalo J. A la fun ción definida
por el de terminante
I
f (1:) g(1:) I ' ,
/' (1:) g'(x) = f (x) g (x) - f (x)g(x),