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Capítulo 4
Ecuaciones Diferenciales Lineales de
Segundo Orden
4.1 Conceptos Básicos
Definición 4.1.1
Se dice que las funciones f
y
9 son linealmente dependientes (l.d.) en
el intervalo (a , b) si existen constantes
c¡,
C2
no ambas cero tales que
c¡f(x)
+
C2g(X)
=
O
para todo x
E
(a, b) .
Definición 4.1.2
Decimos que las fun ciones f
y
9
son linealment e independientes (l.i .)
en el intervalo (a, b) si no son l. d.
,
es decir si las únicas constantes para las cuales
c¡f(x)
+
C2g(X)
=
O
para todo x en el intervalo (a, b), son
CI
=
C2
=
O.
Es fácil entender las definiciones anteriores, por ejemplo, si
f
y
9
son l.d en un intervalo
J,
entonces existen constantes
CI,
C2,
no ambas nulas tales que
c¡f(x)
+
C2g(X)
=
O
para todo
x
E
J.
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que
CI '"
O, de modo que
C2
f(x )
=
--g(x)
CI
Esto es,
si
dos
funciones son l.d.
en un
in tervalo
J,
entonces
una es
simplemente
un
múltiplo constante
de
la otra,
para
todo x en
J.
Recíprocamente si para alguna constante
C2
se tiene que
f(x)
=
C2g(X), X
E
J,
entonces
(- 1)· f (x) +C2g(X)
=
O
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