4.3. Método
de
Reducción
de
Orden
129
De acuerdo con (4. 8) , la solución gene r a l de la ecuación diferencial lineal no ho–
mogénea (4.5 ) se define como
x
E
J,
(4. 9)
Llamaremos a
YP
una solución pa r t icular de (4.5 ). A la solución genera l efe la ec uación
homogénea (4.6) se le denomina solución complementaria y la denotaremos por
y,(x).
Es decir
y,(x)
=
c,y,(x)
+
c,y,(x).
En consecuencia, podemos escribir la solución genera l (4.9) de la ecuación no homogénea
(4.5) en la forma
y(x)
=
y,(x)
+
yp(x)
(410)
Posponemos hasta la sección 4.6 la discución de cómo determinar
yp'
4.3 Método de Reducción de Orden
Dada una solución
y,
(x)
de la ecuación diferencial de segundo orden
y"
+
p(x)y'
+
q(x)y
=
O,
(4. 11 )
puede determinarse una segunda solución
y,(x)
que sea linealmente independiente con
y,(x),
de la forma
v(x)y,(x),
para cierta función
v(x)
distinta de una constante.
Sea
y(x)
=
y,(x)v(x),
entonces
11
11
2
I
I
11
Y
y,v
+
y,v +y,v.
Sustituyendo las expresiones anteriores para
y, y'
y
y"
en (4.11) Ysimplificando resul ta
(YtV"
+
2y; v'
+
y~)
+
p(x )(y,v'
+
y;v)
+
q(x)v
O,
v(y~
+
p(x)y;
+
q(x)y,)
+
v'( 2y',
+
p(x)y¡)
+
y,v"
=
O.
y
como
y,
es una solución de (4. 11 ), el primer término en el lado izquierdo de la igualdad
anterior es igual a cero. Así que
y,v"
+
(2y;
+
p(x )y,)v'
=
O
o bien
,,(
2Y;)
,
v
+
p(x)
+
1h
v
=
O.
(4. 12)
Luego, para que la función
y, (x )v(x)
sea una solución de la ecuación diferencial (4.11 ),
v(x)
debe satisfacer la ecuación diferencia l de segundo orden (4.12). Nótese que haciendo
la sustitución
u(x)
=
v'(x)
entonces
u'(x)
=
v"(x)
y
(4. 12) se reduce a la ecuación
(
2Y')
u'
+
p(x)
+ -;-
u
=
O,
(4. 13)
1...,121,122,123,124,125,126,127,128,129,130 132,133,134,135,136,137,138,139,140,141,...252