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128 Capít ulo 4. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden
Por consiguiente nos interesa saber cuando dos soluciones de la ecuación diferencial
homogénea (4.6) son l.i . en algún intervalo. El siguiente teorema nos da una condición
necesaria y suficiente pa ra la independencia lineal de soluciones (compá rese con el Teo–
rema 4. 1.1 ).
Teorema 4 .2.3 Supongamos que (Lo(x),a¡(x),(L2(X) son funciones continuas en un In–
tervalo J y que a2 (x) # °para toda x E J . Sean y¡ ,Y2 dos soluciones de la ecuación (4.6)
en f . Entonces, Y¡,Y2 son l. i. (Jonnan un conjunto fundamental de soluciones) en J SI
Y solo s'i W (Y¡,Y2)(XO) # 0, para algún Xo E J.
A continuación enunciamos el resul tado principal de esta sección.
Teorema 4.2.4 Supongamos que ao (x), a¡ (x), a2(x) son funciones continuas en un in–
tervalo f y que a2(x) # °para toda x E J . Entonces la ecuación dif erencial homogénea
(4·6)
d 2y dy
a2(x) dx2 + a¡(x) dx + ao(x)y = 0,
tiene dos soluciones y¡(x), Y2(X), que son linealmente independientes en J. Además,
para cualqui er otm solución y = 1>(x) de (4 .6) en J se pueden encontrar constantes c¡ y
C2 tales que
1>(x) = c¡y¡(x) + C2Y2(X), x E J. (4.7)
En vista de (4. 7), la solución general de la ecuación (4.6 ) se define como
y = C¡y¡ (x) + C2Y2(X), x E J,
donde Y¡, Y2 son soluciones l.i. en J de (4.6) y C¡, C2 son constantes arbitrarias.
4.2.2 Solución de la Ecuación no Homogénea
Estamos ya en posición de explicar cómo determinar la solución general de la ecuación
diferencial lineal de segundo orden no homogénea (4.5). En primer lugar enunciamos la
siguiente propiedad del conjunto de sus soluciones.
Teorema 4.2.5 La diferencia de dos soluciones cualesquiera de la ecuación diferencial
no homogénea (4.5) es una solución de la correspondiente ecuación homogénea (4·6).
Como una consecuencia inmed iata de este teorema, a continuación damos el resultado
principal, que nos dice cómo determinar la solución general de (4.5).
Teorema 4 .2.6 Dada una soluciónyp(x) de la ecuación dif erencial (4.5) en un intervalo
J , entonces para cualquier solución y = 1>( x) de esta ecuación, existen constantes C¡, C2
tales qu e
1>(x) = c¡y¡(x) + C2Y2( X) + yp(x), x E J , (4.8)
donde y¡ y Y2 son soluciones l.i. en J de la ecuación homogénea correspondiente (4.6).