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Ejercicios del Capít ulo 3 119
EJERCICIOS 3
l . Encuentre las trayectorias ortogonales para la familia de curvas dada. Trace la
gráfi ca de algunas curvas de la familia y de las trayectorias ortogonales.
a) y = ce- X
b) X2 + y2 = 2cx
2. Determine el miembro de la familia de trayec torias ortogonales a la famili a de curvas
dada, que pase por el punto indicado
a) y=csen x,
1
b) Y = ln cx'
(0,2) .
(2,3).
3. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si
inicialmente hay 10 g y después de 2 horas se ha perdido el 5% de su masa original,
hallar
a) La cantidad restante de uranio como fun ción del tiempo .
b) La cantidad de uranio después de 5 horas.
4. Cierto material radiactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad
existente en cada instante. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se
observó que después de 3 horas, solamente permanecía el 80% de la masa original.
Hallar
a) La cant idad restante de masa en cualquier instante.
b) ¿Qué cantidad de material hay después de 5 horas?
c) ¿Cúanto tiempo debe transcurrir para que la cantidad de material sea un
cuarto de la cantidad inicial?
5. Se ha observado en el laboratorio que el rad io se desintegra a una rapidez pro–
porcional a la cant idad de rad io presente. Su vida media es de 1600 años. ¿Qué
porcentaje desaparecerá en un año?
6. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad exis–
tente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿qué cantidad puede esperarse
al cabo de 12 horas?
7. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad No de bacterias. Para t = 1 hora, en
número de baCterias medido es ~ No. Si la rapidez de mul tiplicación es proporcional
al número de bacterias presentes, determine el tiempo necesario para que el número '
de bacterias se triplique.