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Capít ulo
3.
Aplicaciones de las
Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
luego
V (t)
=
200
+
2t,
así que
R ¡
12~
mm
(
A(t) lb )
(
gal)
A(t)
2
R,
V (t) gal
4
min
=
4 200
+
2t
=
100
+
t
A.
Por consiguiente tenemos ahora
dA
=
12 _
2
A
dI
100
+
t
o bien
dA
2
- +
A
=
12
dt
100 + t
junto con la condi ción inicial
A(O)
=
20 .
Resolviendo
3 800000
A(t)
=
4(100
+
t )
-
(100
+
t)2'
EJEMPLO
3. Un tanque contiene inicialmente 60 galones de agua pura . Entra al
tanque, a un a tasa de 2 gal/ min , salmuera que contiene 1 lb de sal por galón, y la
solución (perfectamente mezclada) sale de él a razón de 3 gal/ min. Obtenga el número
de li bras
A (t )
de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánto demorará
el tanque en vaciarse? ¿Cuál es la máxima cantidad de sal que llega a tener el tanque?
Solución . Continuaremos usando la notación introducida en los ejemplos anteriores. En
este caso tenemos
R ¡
=
G¡C¡
=
(2
gal)
(1~)
=
2~
mm
gal
mm
R
2
=
G
2
C
2
=
(3
gal
)
(A (t) ~)
=
3_A_~ .
min
V (t ) gal
60 -
t
min
Por lo tanto, la ecuación diferencial es
dA
3
- = 2 ---A
dt
60 -
t
es decir
dA +_3_ A
= 2.
dt
60 -
t
(3.22)
La condición inicial es
A(O)
=
O
(3 .23)
1...,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111 113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,...252