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Capít ulo
3.
Aplicaciones de las
Ecuaciones Diferenciales
de
Primer Orden
Adelllás
.r(
4)
=
50 , por lo ('ual
1000
:---;;-;;-;;,------;;;;;;;;: =
50.
1
+
99ge 4000..
De esta expresión despejamos
k
y obtenemos que
k
h:
1
950
--- ln --
4000 49950
0.000990578.
Así , susti t uyendo el valor
k
en (3.20), tenemos que
x(t)
queda al fin de la forma
x
t
_
1000
( ) - 1
+
999e-0990578t .
El nÚlllero de estudiantes contagiados después de 6 días está dado por
'1:(6)
_
1000
.
- 1
+
99ge- 0990578(6) "" 276.221,
es decir , 276 estudi antes han sido contagiados.
3.4 Mezclas
Vamos a considerar ahora los problemas relacionados con mezclas, en los cuales se supone
que una sustancia
S
fluye hacia una mezcla en un recipiente, con una cierta rapidez, y la
mezcla se mant iene un iforme mediante agitación. Además, la mezcla uniforme sale del
recipiente y pasa a otro. Nos interesa determi nar la cantidad de la sustancia
S
presente
en la. mezcla para el tiempo
t.
Si denotamos por
A(t)
la cantidad de
S
al t iempo
t,
entonces la derivada
~
es la
razón de cambio de
A
con respecto a
t.
Si
R¡
indica la razón , rapidez o tasa con la que
S
entra a la mezcla y
R,
representa la razón con la que sale, tenemos la ecuación diferencial
lineal básica
dA
_
R
-
R"
dt -
1
de la cual determinaremos la cantidad
A(t)
de
S
en el tiempo
t .
A continuación pre–
sentaremos algunos ejemplos.
EJEMPLO
1.
Un gran tanque está parcialmente lleno con 200 gal de agua en las cuales
se disuelven 20 lb de sal. Una salmuera que contiene 2 lb de sal por galón, se bombea al
tanque con una rapidez de 6 gal/ min y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
a) Halle el número de libras de sal en el tanque en cualquier t iempo.
b) ¿Cuánta sal está presente después de 30 min?
1...,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109 111,112,113,114,115,116,117,118,119,120,...252