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106
Capít ulo
3.
Aplicaciones
de
las
Ecuaciones
Diferenciales
de
Primer Orden
Empleando la condición inicial
x( 1980)
=
10
5
en (3. 17) obtenemos el valor de
C2
Sustituyendo el valor de
C2
en (3. 17) y simplificando se tiene que
10
6
x(t)
=
,
1
+
g e19.8- lOo
t
>
1980.
b) La población en el año 2000 es
10
6
x(2000 )
=
0 2 '"
119494.63,
1
+
ge- .
es decir en el año 2000 habrá aproximadamente 119,500 habitantes .
c) Para encontrar el año en que se duplicará la población de 1980 buscamos el valor de
t
tal que
x(t )
2 x 10
5
10
6
2
X
10
5
1
+
ge
19 . 8 -
l~O
=
2(1
+
ge
198 -
.io)
10
e
19 . 8 -
l~
4
=
9
t
4
19.8- -
ln -
100
9
t
4
- 100(ln - - 19 8)
9
.
t
'"
206l.
Para el año del 2061 tendremos duplicada la población de 1980.
d) Tenemos que
lim
x(t)
=
lim
10
6
=
10
6
x--+oo
x--+oo
1
+
~
, T1ll!
Luego, en el transcurso de los años la población de esta ciudad se estabilizará en un
millón de habitantes.
EJEMPLO
3. Este es un modelo para la propagación de una infección o un rumor
en una población fija . Supóngase que un estudiante portador de un virus de gripe,
regresa a un campus universitario, aislado , que tiene 1000 estudiantes. Supongamos que
la rapidez con que el virus se propaga, es proporcional no sólo al número de estudiantes
contagiados, sino también, al número de estudiantes no contagiados . Determinar el
