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104
Capit ulo
3.
Aplicaciones de las
EcuadoJJcs
Di ferencia.les
de Primer
Orden
3.3.3
Modelos de Población
S,'a
.,. (1)
el
lI Ú Illt'ro
de illd ividllos ell el t.iempu
l. La.
ley de Malt. hus de crecim iento de
]>()J¡\;.J("iOlll'S
din '
q lH'
la ra¡'ólJ dp
('(l.Illhio
d(· la
pobl acióll
('s
proporc ional
al
núm ero
de
indi viduos
(' 11
('se
LiclllPO,
C~
dC'C'i r
d.r
- = ,,:r( I )
di
k > O
Es \'e
IIlOt!c'!n ¡illPal
para
crrci llliC'lIto
<.1e poblaciones)
SOIl
satisfactorios siempre que la
pohlaci( 1)
!lO
sea.
d CIIlC1}ii a d o
gralld (' () biE'1I
ql1P 110 Sr'
apliqllf' a
111 1
fut uro distante.
Cualldo la pobla,ción es demasiado
grande',
est.e II lOdE'lo
110
pllf'dc
S('I'
cxa,cto,
ya.
que
110
I"r fi ('j a
pi
h('cho de'
q \lC'
los ind ivid llos
C'Ol1lp itrll ('litre' sí por
pi
limi t.ado
r spacio
vita l,
por
},(,('111'508
1H:I,t,u ralcs, rte, Así
p lles,
hay
quP
agrrgar
UIl j,{'l"I lliIlO
dc competición para
que
el
crecimiento de
la poblac ión
cstl;
representado
r ll fOl'lu i:t más
realista.. Una elecc ión
acl0clIacla cid t" rlll ino competit ivo es
- In",
lla lllacl a ley logística. (Vc rll1llst , en 1837) :
d.e
,
-
=
n./"
~
b.J'
di
n , b
>
O.
Ahora bien, en gcnc ralla const ante
b
es lIIuy peqlleIla. comparacla con
a,
de tal modo qtl('
si .,.
110
('s
clcllJ a::; iado
gnllldr)
C'ntollccs
el
término
-bX2
f'S
insignificante
comparado con
0..1'.
Sin
embargo)
s i
J'
r:;
gra.nde
elltonces el término
- b:r'1
drbr tomarse en
cuenta ya que
disll lillll'yC'
la
t.H...'":i;:t
df'
(T(~C i lll i cIltO .
EJEIVIPLO
1.
En
\111
clIl t ivo de bact.erias se tenía n
x
número de familias. Después de
lIna hora se obser varon en el cul t ivo
1000
familias de la bacteria y clespués de (,lIat ro
horas,
3000
famili as. Encont rar lil. expresión pa ra el número de fami lias de la bact eria
present es en el cul tivo a l tielll po
¡,
y el número de familias de la bacteria. que había
original l11f' llt C' en
el
culti vo.
Solución. Sea. .
,. (1)
el núlllero de familias de la bacte ria que hay en
t
horas. De a hí que
dx
.r (J )
=
1000
y
x(
4)
=
3000
y
dt
es la velocidad a la que crece el cul t ivo de bact erias.
Por la ley ma lt hus ia na este problema se formula de la siguiente manera
cllya SOllltiÓII es
.va. ronocida
dx
- = kx
di
.7;(
1)
=
1000
x(
4)
=
3000 ,
x( t )
=
cé"
.Y
cOlls idrra Illl o
la.'-i
condiciolle::; se ticlIe que
x(
t )
=
693 .36eo.3661
