3.3.3. Modelos
de
Población
107
número de estudiantes contagiados después de 6 días, si además se observa que después
de
4
días ya eran 50 los contagiados .
Solución. Denotemos con
x(t)
al número de estudiantes contagiados en
t
días. Entonces
dx
x(O)
=
1,
x(4)
=
50, 100 -
x(t)
expresa el número de estudiantes no contagiados y
dt
es la velocidad con la que aumenta el número de estudiantes contagiados. Por hipótesis
dx
dt
es proporciona l a [x(t)1I1000 -
x(t )].
Este problema queda formulado así
Podemos observar que
dx
di
x(O)
=
x(4)
kx (lOOO
-
x)
1
50 .
(3. 18)
es la ecuación logística con
a
=
1000k
y
b
=
k.
Separamos variables en (3. 18) y por
fracciones parciales se t iene que
10'00
dx
1060k
dx
--+
-dt
kx
1000 - -;: - .
Integrando en ambos lados, obtenemos
y simplificando, se tiene
de donde
1
1
1000k
ln x -
1000k
ln(1000 -
x)
=
t
+
c
In
x
1000 -
x
=
1000kt
+
el
x
1000 -
x
=
C2elOOOkt
x
(t )
=
-:-1
O_O_Oe-",_e
l_ooo_k_'
1
+
e,eloook' .
,
(3. 19)
Como
x (O )
=
1 tenemos que e,
=
1/ 999
Y
Sustit uyendo el valor de e, en (3.19),
x(t)
queda de la forma
o bien
x
(t )
=
",1;:-:O,--OO_e_looo_ k_'
999
+
elOOOk'
x(t)
=
1000
99ge-
1
OOOk<
+
l ·
(3.20)
1...,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108 110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,...252