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98 Capít ulo 3. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
x(2) = 45 .
Sabemos que la solución general de (3.5) es
x(t) = ce".
Empleando la condición inicial (3.6) , resulta
ceO = 50,
por lo cual
c = 50
y
x(t) = 50e kt .
Por otra parte, de (3.7) tenemos que
50e 2k 45
2k = In 45
50
k ~ In 45
2 50
k - 0.053.
(3.7)
a ) Con esto podemos afirmar que una expresión para la masa del material restante después
de t horas es
x(t ) = 50e- 0053t.
b) El número de miligramos del material después de cuatro 4 horas es
x( 4) = 50e(-O.053)(4) = 40.5 mg.
c) Para calcular la vida media, determinamos el valor de t para el cual x(t) = l' = 25.
Es decir,
50e - O.053t
-0.053t
t
25
1
In -
2
13 horas.
Por lo tanto la vida media de este material es de 13 horas.
Método del Carbono 14 Este método se debe al químico Willard Libby cuyo
descubrimiento le valió el Premio Nobel de Química en 1960. La teoría se basa en lo
siguiente. La atmósfera terrestre es continuamente bombardeada por rayos cósmicos, los
cuales producen neutrones libres que se combinan con el nitrógeno de la atmósfera para