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2.10. Ecuación de Clairaut 89
2.10 Ecuación de Clairaut
La ecuación diferencial de la forma
y = xy' + f(y'), (2.84)
con f una función arbitraria, se llama ecu ación d e C la ira ut .
Mostraremos que las rectas
y = cx + f(e), (2. 85)
con e un número real, constituyen una familia de soluciones de la ecuación de Cla iraut
y que además dicha ecuación posee la siguiente solución definida en forma paramétrica
por las ecuaciones
x = - j'(t) , y = f(t ) - tj' (t ). (2.86)
En primer lugar , derivando (2.85) con respecto a x se sigue que
y' = e
y sustituyendo en (2.84) vemos que ésta se reduce a la identidad
cx + f(e) = xc + f( e),
lo cual muestra que (2,8,5) es una solución de (2.84) para todo e. Obsérvese que la
expresión (2. 85) de esta familia de soluciones se obtiene trivialmente poniendo y' = c en
el lado derecho de (2.84).
Por otra parte, de las ecuaciun~s (2 .86) tmemos que
dx
dt
dy
dt
dy
dx
- j"(t)
j'(t) - 1'(1) - I J"( I ) = -tj" (t )
dy di ,,( 1 )
di ,b- = -1 f (1) _ I" (t ) = t .
Sustit uyendo y y dy cn la ecuación dif"rt'nci al d,' Clairaut llegamos a la identidad
dx
f(l ) - 1)' (1) = - 1' (1)1 + f(t )·
De modo que efect ivmnrnt", (2.8(j ) dl'tiIll'n otra solució" de (2.84 ).
A la solución panunPt,rim St' h' lIaula solución sin gular y requiere que I" (t ) oJ O.
Note además que csta solul'il\n no St' pUl'd,' oht.,'nrr d,' la familia de rectas (2. 85 ).