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2.9. Ecuación de Ricatti
2.9 Ecuación de Ricatti
La ecuación
dy
2
- = p(x )y + q(x )y + r (x )
dx
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(2.78)
se llama ecuación de Ricatti. El método de solución que proponemos para resolver
(2. 78) supone que se conoce, o bien puede calcularse, una solución particular de la
ecuación. Sea
y,
una solución particular de (2.78) , entonces es fácil mostrar que la
relación
1
Y
=
y,
+ - ,
(2.79)
v
define una famili a de soluciones de la ecuación de Ricatti , donde
v
satisface cier ta ecuación
diferencial lineal, corno veremos a continuación.
Derivando (2.79) con respecto a
x
obtenernos
dy
,
_2dv
- = y -v -
dx
'
dx
Sustituyendo esta expresión junto con (2.79) en (2.78) tenernos
,
dv
(1)2 ( 1)
y, -v- 2
dx
= p(x) y,
+;
+q(x) y,
+;
+ r(x ),
o equivalentemente
'
_2dv
2
p(x )y,
p(x )
q(x)
y,
-
v -d
=
p(x)y,
+
2- -
+
- 2
+
q(x)y,
+ - +
r(x).
x
v
v
v
Ahora bien, ya que que
y,
es solución de la ecuación diferencial, se cumple que
lo cual reduce (2 .80) a
y;(x)
=
p(x)y;(x)
+
q(x)y,(x )
+
r (x),
_2dv
-v -
dx
dv
--'.2p-,-( x-,-,)y,-,-'
+
p_(x_)
+
_q( x_ )
V
v
2
V
-[2p(x)y, v
+
p(x)
+
q(x)v]
dx
dv
= -[2p(x) y,
+
q(x)]v
-
p(x).
dx
Es decir,
v
satisface la ecuación
dv
dx
+
[2p(x )y,
+
q(x)] v(x)
=
- p(x),
que efectivamente es una ecuación diferencial lineal.
(2.80)
(2.81)
