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Capítulo
2. EcuaciOlJ€s
Diferenciales de
Primer Orden
2.7 Miscelánea de Ecuaciones Diferenciales
No existe
Ull
método general para resolver ecuaciones diferenciales . Por consiguiente,
pa.ra rcsolvf'1'
ulla eC11ación
diferencial recomendamos primero invest igar si es de alguno
de los t ipos estud iados en las secciones anteriores: separable, homogénea, exacta, con
un factor integrante, lineal, etcétera,
y
posteriormente aplicar el método de solución
correspond iente.
Algunas ecuaciones diferenciales pueden resolverse por varios de los métodos vistos
C'll
las secciones anteriores.
EJEMPLO.
Resolver
(2x
+
xy2)dx
+
(4y
+
x 2 y)dy
=
O
Solución. Veamos pr imero si la ecuación (2.74) es de variables separables.
= -
(2x
+
xy2)dx
- x(2
+
y2)dx
-x
4
+
x 2dx .
Así, (2.74) resultó de variables separables. Integrando
y
reduciendo, obtenemos
In(2
+
y2)
=
- ln (4
+
X2)
+
el
In(2
+
y2)(4
+
X2)
=
e l
(2
+
y2)( 4
+
x2)
e2
8
+
2X2
+
4y2
+
x2 y2
=
C2.
Por ot ra parte, si en (2.74 ) denotamos
entonces
M (x, y)
=
2x
+
xy2
aM
-= 2xy
ay
N (x,
y)
=
4y
+
x2y,
aN
ax
=
2yx.
(2.74)
Por lo tanto, la ecuación (2.74) también es exacta. Luego, existe una función
I
tal
que
al
=
M
Y
al
=
N .
A partir de estas relaciones encontramos que
ax
ay
I( x,
y )
=
J
(2x
+
xy2) dx
al =x2y + h' (y )
ay
h'( y )
h(y)
x2 y2
X2
+
- 2-
+
h(y )
4y
+
yx 2
4y
2
y
2
+
el .
1...,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79 81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,...252