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74
Capítulo
2. Ecuaciones
Diferenciales
de
Primer Orden
6.
y'
=
y
2ylny
-
x
7.
xy'
+
2y
=
sen x
8
dy
sen x
dx
+
(cosx)y
=
0,
y(
-1f
/ 2)
=
1
dy
1
9.
dx
e
Y
-
X
10.
2
dy
cos
x dx
+
Y
-
1
=
0,
y(O )
=
- 3
2.6 Ecuación de Bernoulli
A una ecuación diferencial de la forma
dy
dx
+
P (x)y
=
f(x)yn
(2.65 )
con
n
un número real, se le llama ecuación de Bernoulli .
Si
n
=
°
o
n
=
1, (2.65) es una ecuación diferencial lineal. Además si
n
=
1, la
ecuación se puede resolver mediante separación de variables. Así que nos concentramos
en el caso en que
n
#
0,
1.
El método para resolver una ecuación de Bernoulli consiste en transformarla en una
ecuación diferencial lineal mediante un cambio de variable, veamos.
Divid iendo ambos lados de (2.65) por
yn,
resulta
Sea
entonces
por lo cual
y -n dy
+
p (x)yl-n
=
f (x) .
dx
dw
_ndy
- =
(1 -
n)y
-,
dx
dx
1
dw
_n dy
---= y -
1 -n dx
dx
Sustituyendo (2.67) y (2.68) en la ecuación diferencial (2.66) obtenemos
1
dw
l -n dx + P (x)w
=
f(x )
dw
dx
+
(1 -
n)P (x )w
(1 -
n)f(x),
(2.66)
(2.67)
(2.68)
