2.4. Factores
Integrant es
65
Ya que se conoce un factor integrante de (2.46), multiplicamos dicha ecuación por
y'
y
procedemos a resolver la ecuación diferencial resul tante, cuya solución es igual a la de
(2.46). Tenemos
y'( 2xy
+
y')dx
+
y'(3x'
+
6xy3)dy
(2xy3
+
y6)dx
+
(3x'y'
+
6xy5)dy
o
o.
Ahora se t iene en (2.49 ) que
M(x, y)
=
2xy3
+
y6,
éJM
éJy
=
6xy'
+
6y5,
N(x,y)
=
3x'y'
+
6xy5
éJN
éJx
=
6xy'
+
6y 5.
(2.49 )
Luego, (2.49 ) ya es una ecuación diferencial exacta, cuya solución está definida implícitamente
en la ecuación
EJEMPLO
2. Resolver
(:' +
2)
dx
+
~
(1
+
ln xy)
dy
=
O.
Solución. Tenemos que
M (x, y )
=
Y,
+
2,
x
éJM
1
-=-
éJy
,
,
x
N ( )
=
1
+
ln xy
x,y
,
x
éJN
- ln xy
éJx
x,
(2.50)
De modo que (2.50) no es una ecuación diferencial exacta. Veamos si
M
y
N
cumplen
con la condición del Caso
I.
I
+
In;y
X'
x
1
x
l+lnxy
x
Como (2.51) es exclusivamente función de
x,
un factor integrante es
() J
dz
In
x
J.L
X
=
e
r
=
e
=
x.
Multiplicamos (2.50 ) por
J1.(x)
y
obtenemos la ecuación
(~+2X)
dx+
(1
+ ln xy) dy
=
O,
(2.51)
1...,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66 68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,...252