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Capít ulo
2. Ecuaciones
Diferenciales
de
Primer Orden
no es función exclusivamente de
x,
por lo que no podemos calcular un factor integrante
dependiente solamente de
x.
En forma similar vemos que
fjN
8M
ay
-
ay
=
y
-
x
+
In
x
-
In
y
M
xy+ y ln y
no es función exclusivamente de
y,
por lo que el Caso II no puede aplicarse. Vamos ahora
a buscar un factor integrante de la forma
J.L(x, y)
=
x=y".
Para ello buscamos constantes
m y
n
tales que
aM aN
N
M
ay
ax
m--n-
x
y
x
+
In
y
+
1 -
Y
-
1 - In
x
xy
+
x
In
x
xy
+
y
In
y
m
-n
x
y
(x
+
In y) -
(y
+
In x)
m(y
+
In x) -
n(x
+
In y).
De la última igualdad se sigue que m
=
n
=
- 1.
Así que un factor integrante es
1
J.L(x,y)
= –
xy
Si multiplicamos la ecuación diferencial dada por
J.L(x, y)
,
obtenemos la ecuación exacta
1
1
-(xy
+
yln y) dx
+
-(xy
+
x ln x)dy
=
O,
xy
xy
cuya solución está definida implícitamente por la ecuación
y
+
x
+
In
y
In
x
=
c.
EJEMPLO
6. Resolver
Solución. La ecuación no es exacta, ya que
M (x,
y)
=
2X2
+
e-Y,
aM
_ y
ay
=
-e ,
N( x, y)
=
x
3
+
xy,
aN
2
ax
=
3x +y.
(2.57)
Procedemos a determinar un factor integrante. Primero vemos que la ecuación no cae
dentro del Caso 1, puesto que
-e-
Y
-
(3x
2
+
y)
x
3
+
xy
