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Capít ulo
2.
&uaeiones Diferenciales
de
Primer Orden
Por otro lado, se requiere que
af
ax
=
ye X
+
2e
x
+
y2
Igualando las dos expresiones anteriores se tiene que
1>'(x)
2e
x
1>(x)
J
2e
x
dx
1>(
x)
2e
x
+
e, .
Sustituyendo
1>(x)
obtenemos
f(x, y)
=
eXy
+
xy2
+
2e
x
+
e,.
Luego, la solución viene dada por
eXy
+
xy2
+
2e
x
+
c,
k
eXy
+
xy2
+
2e
x
e.
Aplicando la condición
y(O)
=
6 en la última ecuación tenemos que
eO(6)
+
(0)(6f
+
2eo
c
8
=
c.
Así, concluimos que nuestra solución particular está definida implícitamente mediante la
ecuación
eXy
+
xy2
+
2e
x
=
8.
EJEMPLO
6. Resolver
(y 2 cosx
-
3x 2y
-
2x)dx
+
(2ysenx -
x
3
+
lny )dy
=
O,
y(O)
=
e.
(2.42)
Solución. Como
aM
aN
ay
=
2y
cos
x
-
3x
2
ax'
tenemos que (2 .42) es una ecuación diferencial exacta y por lo tanto existe una función
f
tal que
!jf
ay
f (x,y)
2y sen x
-
x
3
+
lny
J
(2y
sen
x
-
x
3
+
In
y)dy ,
1...,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61 63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,...252