Página 54 - Coordinación de Servicios de Información

52 Capít ulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Esto nos hace recordar el trinomio cuadrát ico, por lo que despejando w, obtenemos
2(y - p) ± J4(y - p)2 + 4X2
w= 2x
o bien,
dy Y- P J(Y- p)2
- = - ± -- + 1
dx x x '
. Y- P
la cual como sabemos es una ecuación cuasi-homogénea. S, ponemos v = --,x
y - p y naturalmente,
dv dy
x-+v = -.
dx dx
(2.25)
vx =
(2.26)
Ahora bien, si usamos (2.25) y seleccionamos el signo más, la ecuación (2. 26) se reduce
a
dv ~
x dx = vv 2+ 1.
Separamos variables e integramos.
dv dx
v'v2+l x
J dv
v'v2+l = Jd;
In (v + vv 2 + 1)
v+ v'v2+l =
ln x+c
(Y: P) + J(Y: pr + 1 = Ax, A = e' .
La gráfica de la solución obtenida es una parábola. Para verlo, despejemos la raíz
J(Y: P) 2 + 1 = Ax - (Y: P),
elevamos al cuadrado y simplificamos para obtener
(Y: p)' + 1 = A2X2 - 2Ax (Y : P) + (Y: p)'
1 = A2X2 - 2A(y - p)
1 - A2X2 = - 2A(y - p)
Y - P
Y