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44
Capítulo
2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
2.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
D e finición 2.2 .1
La. función f (.L, y)
se
lla.ma homogénea de grado n con respecto a las
1Iarialilp"
.1".
U si pa.ra. todo
f
se
ve1~fica
que
f (tx, ty )
=
t
n
f (x,
y ).
EJEMPLO
1.
Diga si la fun ción dada es homogénea
y
determine su grado.
a)
f (.L.
U)
=
21:
3
-
5xy2
+
4l·
b)
f (.1.
y )
=
l,5
+
y5
X2
-
y2
e)
f (J·
U)
= --"–
xy
x
3
+
x
2
U
+
X
d ) f (x,y)=
3
·
Y
e)
f (·r.u )
=
U
+
L(l n., - ln U- 1).
y y2
f )
f (1.
U)
=
sen '--
+
'-2
+
c-
2y /
x
+
6.
;1:
x
Solución.
a )
En
est.e caso
f (tx , tU )
=
2(tx)3
-
5(tX)( ty )2
+
4(ty )3
2t 3x 3
_
5t
3
xy2
+
4t
3
y
3
t 3 (2x
3
-
5xy2
+
4y3)
=
t 3 f (x, y ),
lo cua l muestra que la función
f(x , y)
=
2x
3
-
5xy2
+
4y
3
es una función homogénea de
grado tres.
b) Se tiene que
f (tx, ty )
1(tX)5
+
(ty )5
=
1t5x5
+
t 5y5
1t5(X5
+
y5 )
t 1x 5 + y5
tf(x, y ).
