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2.1. Ecuaciones Diferenciales
de
Variables Separables
EJEMPLO
10. Resolver el problema de valor inicial
e" cos
x
+ cos
x
+
(e Y
sen
x
+
eY)y'
=
O,
y(rr)
=
O
Solución. Separando variables e integrando se sigue que
e" cosx + cosx +
(e"
sen
x
+
eY) y'
=
O
dy
O
cos
x(
e"
+
1)
+ e" ( sen
x
+
1)
dx
=
dy
-cosx(e" +
1)
eY(senx +
1)-
=
dx
eY(sen x +
l )dy
-cosx(e" +
l )dx
e"
cosx
dx
--dy
=
e
Y
+ 1
sen
x
+ 1
In (e" + 1)
-In (senx + 1) + In c,
In (e" + 1)
In
c,
=
sen
x
+ 1
Ahora despejamos
y
para expresar la solución en forma explícita
es decir
con c
=
el -
1.
c, - sen
x
- 1
e
Y
= -'-----:-–
sen
x
+ 1
I
c- senx
y
=
n
sen
x
+ 1
Se quiere una solución que cumpla con
y(rr)
=
O, entonces
O
=
In
=
In e,
(
e - sen rr)
sen rr+ l
de donde
e
=
1.
Sustituyendo en (2.14 ) obtenemos la solución del problema de valor inicial
1
1 -senx
y
=
n
.
1 + sen
x
41
(2.13 )
(2.14 )
La siguiente ecuación diferencial es de segundo orden. sin embargo. mediante un
cambio de variable se reduce a una de primer orden . Corresponde a la ecuación diferencial
(1.12) del ejemplo 5 del capítulo
1.
