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46 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
D efini ción 2.2.2 Se dice que la ecuación diferencial
A1(x,y)dx+ IV(x,y)dy = 0,
es homogénea si las funciones A1 y IV son homogéneas y del mismo grado .
Note que la ecuación diferencial
y' = f(x , y),
será homogénea si f es una función homogénea de grado cero.
M é todo de Solución. Una ecuación d iferencial homogénea A1(x, y)dx+ IV(x, y)dy = 0,
se resuelve reduciéndola a una ecuación de variables separables, usando cualquiera de las
sustituciones v = y/x o bien v = x/y, donde v es una nueva variable.
Nota: Aunque en teoría cualquiera de las dos sustituciones anteriores reduce una ecuación
homogénea a una separable, en la práctica sugerimos utilizar
• y = xv si IV es de estructura "más simple" que A1. y
• x = yv si A1 es de estructura "más simple" que IV.
El tomar en cuenta esta observación, conduce a integrales más fáciles de calcular al
resolver la ecuación diferencial separable que se obtiene.
EJEMPLO 1. Resolver
(2.17)
Solución. Como
A1(x , y) = x 3+ y3 Y IV(x , y) = _xy2
son funciones homogéneas ambas de grado tres , la ecuación dada es homogénea. Además
IV es de estructura algebraica más simple que A1 , por lo cual, la sustitución más conve–
niente es y = xv para reducir (2. 17) a una ecuación de variables separables.
Hacemos
y = xv
dy = xdv + vdx.
Sustituyendo en (2.17) obtenemos
[X3 + (XV)3] dx - x(xv)2(xdv + vdx)
(x 3 + X3v 3 )dx - X3v 2 (xdv + vdx)
x 3(1 + v 3 )dx - X3V 2 (xdv + vdx)
(1 + v 3 )dx - v 2 (xdv + vdx)
dx + v 3dx - xv 2 dv - v 3dx
dx
dx
x
°
°
°
°
= °
xv 2dv
= v2 dv.