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54 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
EJEMPLO. Si f(x, y) = x' + 3x2y2 + y3 = c, entonces df = O, es decir
(4x 3 + 6xy2) dx + (6x 2 y + 3y2 ) dy = O,
o bien
dy 4x 3 + 6xy2
=
dx 6x 2y + 3y2 .
(2.27)
Note que la ecuación diferencial (2.27) no es separable ni tampoco homogénea, decimos
que es exacta y su solución es x' + 3x2y2 + y3 = c.
De manera general hacemos la siguiente definición.
D efinición 2.3.2 Se dice que una ecuación dif erencial
M (x, y)dx + N (x , y )dy = O, (2.28)
es exacta si puede escribirse en la forma df = O, es decir
Equivalentemente, la ecuación diferencial (2.28) es exacta si existe una función f tal que
8f
8x = M (x , y) y 8f
8y = N(x , y). (2.29)
Note que, la solución de una ecuación diferencial exacta está dada implícitamente por
la ecuación f(x , y) = c, donde c es una constante arbitraria.
A la función f que cumple las ecuaciones (2.29) se le denomina [unción potencial,
mientras que a la función vectorial
F (x, y ) = M (x, y ) i + N (x, y) j , (2.30)
se le llama campo vectorial conservativo. En este contexto, resolver la ecuación diferencial
exacta (2.28) es equivalente a encontrar la función potencial del campo (2.30). Puede
consul tarse [8], para estudiar esta clase de campos vectoriales.
El siguiente teorema proporciona un criterio simple para determinar si una ecuación
diferencial es exacta . Su aplicación queda clara en los ejemplos posteriores.
Teorema 2.3.1 Sean las funciones M , N , My y N x continuas en la región rectangular
R . Entonces la ecuación
M (x, y )dx + N (x , y)dy = O,
es exacta en R si y sólo si
8M 8N
8y (x, y ) = 8x (x , y ), (2.31 )
para todo punto (x, y) en R .