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56 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Sustit.uimos q,(y) en (235) y se tiene que
f(x , y) = xy + 2ln y + CI.
Finalmente, igualamos f(x, y) con una const.ante k para obtener la siguiente solución de
(2.32), defin ida implicitamente
xy + 2 ln y + CI k
xy +2 lny = k - el.
Renombrando c = k - CI , resul ta la solución
xy + 2 ln y = c.
EJEMPLO 2 . Resolver
dy 2 + ye'Y
=
dx 2y - xe"Y
Solución. Escribamos la ecuación en su forma diferencial ,
M (x, y)dx + N(x , y)dy = O
(2y - xexY)dy = (2 + yexY)dx
(2 + yexY) dx - (2 y - xexY)dy = O
(2 + yexY)dx + (xe xy - 2y )dy = O.
Esta ecuación diferencial es exacta ya que
BM BN
_ = xyexy +e xy =-,
By Bx
luego, existe una función f tal que
~~ = 2 + ye
xy
.
Integrando respecto a x
f(x , y) = J(2 + yexY)dx,
es decir
f(x , y) = 2x + e XY + q,(y),
donde q,(y) es una función que depende únicamente de y.
Deri vamos parcialmente a (2.38) respecto a y
~~ = xe"Y + q,'(y ),
(2.37)
(2. 38)