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66
Capítulo
2. Ecuaciones
Diferenciales
de Primer Orden
la cual es una ecuación diferencial exacta que tiene la misma solución que
(2.50) ,
definida
implícitamente en la ecuación
EJEMPLO
3. Resolver
Solución. Ahora
y ln xy
+
X2
=
c.
(y
+
x
+
2)dx
+
dy
=
O.
M(x ,y)
=
y +x
+
2,
aM
ay
=
1,
N(x , y)
=
1,
aN
=
o
ax
.
(252 )
Entonces
(2.52)
no es una ecuación exacta. Hallaremos un factor integrante. Primero,
veamos si
M
y
N
cumplen con las condiciones mencionadas en el Caso
l.
8M
8N
ay-Fx
= 1
N
.
(2.53)
Vemos que
(2.53)
es una función constante y que se puede considerar como función de
x
o bien de
y.
En este caso nos interesa considerarla como función únicamente de
x.
Luego
J1(x)
=
eX.
Multiplicamos a
(2.52)
por
J1(x)
y se obtiene
eX(y
+
x
+
2)dx
+
eXdy
=
O.
Se puede observar que
(2 .54 )
si es una ecuación exacta, cuya solución es
y
=
ce-
x
-
x
-
l.
EJEMPLO
4. Resolver
Solución. Ya que
(6y
-
24xy5)dx
+
(9x
-
56x
2
y4 )dy
=
O.
M(x , y)
=
6y
-
24xy5,
aM
ay
=
6 -
120xy"
N(x, y)
=
9x
-
56x
2
y.,
aN
4
ax
=
9 -
112xy ,
(2.54)
(2.55)
es claro que
(2.55)
no es una ecuación diferencial exacta. Determinemos un factor inte–
grante. El Caso 1 no puede aplicarse, puesto que
8M
8N
ay-a:;¡
N
-3 -
8xy4
x(9
-
56xy4)
'
