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2.4. Factores Integrantes
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no es función solo de
x.
Además
aN
aM
,
7iX -
ay
3x
+
y
+
e-Y
M
2x'
+
e- Y
no es función solo de
y,
y el Caso II falla . Trataremos ahora de hallar un factor integrante
de la forma
¡.«
x, y)
=
xmy".
Tenemos que
aM aN
ay
ax
-e-
Y
-
3x'
-
y
-y
3 '
-e
-
x
-
y
N
M
m--n-
x
y
x
3
+
xy
2x'
+
e- Y
m
-n--'--
x
y
2
X2
e-Y
mx +my
-
2n- -n-o
y
y
Observamos en la últ ima igualdad , que no existen
m,
n
que la satisfagan. Por último, de
acuerdo con el Caso IV, buscamos un factor integrante de la forma
¡.« x, y)
=
eJ P(x)dx+ J
Q(y)dy
Es necesario encontrar funciones
P(x)
y
Q(y)
tales que
Es decir
aM aN
ay
-
ax
=
N (x, y) P(x)
-
M(x, y)Q(y).
-e-
Y -
(3x'
+
y )
-e-
Y
-
3x'
-
Y
-3x'
-
y
-
e-Y
=
(x
3
+
xy)P(x)
-
(2x'
+
e-Y)Q(y)
=
x
3
P(x)
+
xyP(x )
-
2x'Q(y)
-
e- YQ(y)
x
3
P(x)
-
2x'Q(y)
+
yxP(x)
-
Q(y)e -
y
1
. En consecuencia
Q(y)
=
1,
P(x)
= --
y un factor integrante es
x
¡.«x, y)
=
eJ -;ldxeJ
dy
e- 1n xeY
e
Y
x
Así que multiplicamos la ecuación
(2.57)
por este
¡.«x, y)
y obtenemos
e
Y
e
Y
-(2x'
+
e-Y)dx
+
_(x
3
+
xy)dy
=
0,
x
x
la cual es una ecuación diferencial exacta, cuya solución es la misma que la de la ecuación
original y está definida implícitamente en la ecuación
(x' +y - l )e
Y
+
ln x
=
C.
