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2.3. Ecuaciones
D iferenciales
Exactas
de donde
¡ (x,y)
=
y
2
sen x -
x3y
+
y ln y
-
y
+
q,(x) .
Entonces
~~
=
y2
cos
X
-
3x 2 y
+
q,'( x).
a¡
Pero
ax
=
M (x,y),
de donde
Luego
=
y2
cos
X
-
3x 2y
-
2x
-2x
y2
cos
X
-
3x 2 y
+
q,' (x)
q,'(x)
q,(x)
=
¡(x , y)
=
y
2
sen x -
X3 y
+
y ln y
-
y
-
x2
+
Cl
o bien, la solución
y
está definid a implícitamente en la ecuación
y2
sen
x
-
X3 y
+
y
In
y
-
y
-
X2
=
C.
Como
y
está sujeta a la condición
y(O)
=
e, se t iene que
e
2
senO -
(O)(e)
+
e ln e -
e - O
e
e
=
O.
Así,
y
está definida implícitamente en la ecuación
y2
sen
x
-
X3 y
+
y
In
y
-
y
-
x2
=
O.
EJEMPLO
7. Resolver
(2y2
-
4x
+
5)dx
+
(2y
-
4xy
-
4)dy
=
O.
Solución. Se tiene que
M(x,y )
=
2y2
-
4x
+
5,
N(x,y)
=
2y
-
4xy
-
4
y
aM
ay
=
4y ,
aN
ax
=
- 4y ,
por lo cual (2.43) no es una ecuación diferencial exacta.
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(2.43)
