58
Capít ulo
2. Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
01
Pero -
=
In
x
-
1, entonces
oy
Sustituyendo
1>(y)
se t iene que
1>'
(y)
- 1
1>(y)
-y
+
Cl '
I(x,y)
=
(x + y) ln x-y+cl'
La solución está dada por
(x
+
y)
In x -
y
+ Cl
=
k,
de donde
(x+y) lnx -y
y( ln x- l )
y
=
C
C -
x
In
x
c -
x
In x
Inx - l '
x
el
e.
Nata: Para resolver las ecuaciones exactas anteriores primero integramos con respecto
a
x
en la igualdad
~~
=
M(x , y),
pero se puede proceder en forma análoga si en lugar
.
01
de esto llltegramos con respecto a yen
oy
=
N(x, y).
Ilustraremos dicho procedimiento
en los tres ejemplos siguientes.
EJEMPLO
4. Resuelva
dy
(3y2
+
X
cosxy) dx
+
(3x 2
+
ycos
XV)
=
O.
Solución.
Escribamos (2.40) en su forma diferencial
En este caso
y dado que
(3x 2
+
y
cos
xy)dx
+
(3y2
+
X
cos
xy)dy
=
O.
M(x , y)
=
3x 2
+
y
cos
xy,
N(x ,y)
=
3y2
+
xcosxy
oM
oN
oy
=
-xysen xy
+
cosxy
=
ox '
tenemos que (2.40) es una ecuación diferencial exacta, por lo que existe
I
tal que
8f
=
3y2
+
x
cos
xy.
oy
(2.40)
1...,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59 61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,...252