Página 69 - Coordinación de Servicios de Información

2.4. Factores In tegrantes 67
no es función exclusivamente de x. Por otra parte
8N 8M 4
fu-a,¡ _ 3+8xy
M 6y( 1 - 4xy' )
no es una función exclusivamente de y, por lo que tampoco podemos aplicar el Caso n.
Busquemos un factor integrante de la forma
el cual se puede construir sólo si existen constantes m y n, tales que
8M 8N
8g 8x
6 - 120xy' - 9 + 11 2xy'
-3 - 8xy'
Esto nos lleva al sistema
N M
m--n-
x y
9x - 56x 2y' 6y - 24xy5
m - n-"----"-
x y
= 9m - 56mxy' - 6n + 24nxy"
9m - 6n -3
- 56m + 24n -8,
cuya solución es m = 1 Y n = 2. De modo que ¡.t(x , y) = xy2 es un factor integrante para
(2.55). Por lo que al resolver la ecuación
xy2(6y - 24xy5)dx + xy2(9x - 56xV)dy = 0,
obtenemos la solución de (2.55). Su solución y está definida implícitamente en la ecuación
3X2y3 _ 8x3 y7 = c.
EJEMPLO 5. Resolver
(xy + y ln y)dx + (xy + x ln x)dy = O. (2.56 )
Solución. Como
M(x,y) = xy+ylny , N(x,y) = xy + xlnx,
8M
8y =x+ lny + l,
8N
8x = y+l+lnx,
8M
observamos que 8y # 8N8x . Luego la ecuación no es exacta. Busquemos un factor
integrante. Se tiene que
8M 8N
a,¡ - fu = (x + ln y) - (y + ln x)
N x(y + ln x)