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2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas
Integrando esta ecuación respecto a y obtenemos
¡(x,y) J (3y2 + x cos xy)dy
y3 + sen xy + if¡(x).
Derivando parcialmente con respecto a x resulta
a¡ '( )
ax = y cos xy + if¡ x.
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Recordando que ~~ = 3X2 + ycosxy e igualando con la expresión anterior, tenemos que
ycosxy + if¡'(x)
if¡'(x)
if¡(x)
3X2 + y cos xy
3X2
x 3 + e¡.
Sustituyendo if¡(x) tenemos
¡ (x,y) = y3 + sen xy + x 3+ e¡ .
La solución está dada por
y3 + sen xy + x 3+ e¡ = k,
o bien
y3 + sen xy + x 3= e.
EJEMPLO 5. Resolver
(y eX + 2ex + y2) dx + (eX + 2xy)dy = 0, y(O) = 6.
Solución. Tenemos que
M (x,y) = ye X + 2ex +y2, N(x ,y) = eX + 2xy
y como
aM X aN
ay =e + 2y = ax'
se trata de una ecuación diferencial exacta. Buscamos una función ¡ tal que
a¡
ay
= e X + 2xy
¡ (x, y) = J (e X+ 2xy )dy
eXy + xy2 + if¡(x) ¡ (x,y)
a¡ = e Xy+y2+if¡'(x).
ax
(2.41)