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2.3. Ecuaciones Diferenciales
Exactas
pero sabemos que
~
=
N(x,
y) ,
por lo que
xe
xy
+
q,'(y)
=
xe
X
" -
2y .
De esta ecuación resulta
con
el
una COhstante.
q,'(y) =
q,(y)
- 2y
_y2
+
el )
Luego, sustituimos
q,(y)
en (2.38)
y
se t iene que
¡(x,y)
=
2x +e
xy
-
y2
+c¡.
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Finalmente, tomando en cuenta que
¡ (x, y)
=
k
da la solución implícita, obtc1l0mos
2x
+
e
XY
-
y2
+
el
k
2x
+
e
XY -
y2
k
- el
2x
+
e
XY -
y2
=
e.
EJEMPLO
3.
Resolver
(
Y)
dx
1 + ln x+~
dy = l - lnx .
Solución.
Esta ecuación en su forma diferencial nos queda de la siguiente forma
(1 + In x +
!!.)dx
+ (In
x
-
l )dy
=
0,
x
en donde
y
como
M(x ,y)= 1+ 1n x+!!.,
x
aM
1
N(x , y)
=
In x - 1
aN
-=- = -
ay
x
ax '
(2.39)
Se tiene que nuestra ecuación a resolver es una ecuación diferencia l exacta , por lo 'lile
existe una función
¡
tal que
Luego
a¡
Y
- =
1 + In x + -
y
ax
x
a¡
- =
ln x -
1.
ay
¡(x ,y)
¡ (x,y)
¡ (x,y)
Jo
+ ln x +
;)dx
a¡
ay
= x
+
x
In
x
-
I
+
Y
In
x
+
d>( y )
= (x+y) ln x+q,(y)
=
In x +
q,'(y).
