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2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas
55
EJEMPLO
1.
Resolver
y dx
+
(X
+
n
dy
=
O
(2.32)
So lución .
Verifiquemos, primero, que (2.32) es una ecuación diferencial exacta. Aquí
tenemos que
y como
M (x,y)
=
y
y
2
N (x, y )
=
x
+- ,
y
íJM
íJN
íJy = l = íJx '
afirmamos que (2.32 ) es una ecuación diferencial exacta. Luego, existe una fun ción
f(x , y)
tal que la ecuación (2 .32) se puede escribir en la forma
df(x , y)
=
o.
Es decir, que
M (x,y)
=
y
2
N (x,y)
=
x
+-.
y
Para determinar
f
integramos (2.33) con respecto de
x,
resulta
f (x, y )
=
J
ydx,
o bien
f(x , y)
=
xy
+
q,(y)
,
donde
q,(y)
es una función de
y ,
ya que integramos con respecto de
x.
Derivando (2.35) parcialmente con respecto a
y
se obtiene
íJ
f
'( )
íJY=x+q,y ,
(2.33)
(2.34 )
(2.35)
(2.36)
pero como deseamos que también se satisfaga (2.34), igualando (2.36) Con (2.34 ), se sigue
que
Luego
x+q,'(y)
=
x
+~.
y
q,'(y)
=
~.
y
Integrando ahora ambos lados respecto a
y
obtenemos
q,(y)
=
21ny
+
Cl,
con
e l
una constante arbitraria.
