Página 65 - Coordinación de Servicios de Información
Versión de HTML Básico
2.4. Factores Integrantes
63
Debemos observar que la solución de (2.45 ) es la solución de (2.44 ) y que en general no
es fácil encontrar un factor integrante para una ecuación no exacta de la forma (2.44).
Sin embargo, si
M(x , y)
y
N( x, y)
cumplen ciertas cond iciones entonces los factores in–
tegrantes son conocidos. Veamos algunos casos .
CASO
I.
Factor integrante dependiente
de
x.
Suponga que
es una función que depende únicamente de
x,
la cual denotaremos por
g( x) .
Entonces,
un factor integrante para la ecuación dada es
¡.t(x)
=
e J g(x )dx.
CASO II. Factor integrante dependiente
de
y.
Si se t iene que
8N
8M
ex
--
ay
M
es una función de
y
únicamente, denotada por
h(y) ,
entonces
¡.t(y)
=
eJ h(y)dy
es un factor integrante para la ecuación diferencial (2.44).
CASO III.Factores
de
integración
de
la
forma
xmyn
Si existen m y
n
tales que
8M 8N
N
M
- - -=m--n-
8y
8x
x
y'
entonces
es un factor integrante para (2.44 ).
CA SO IV.
Si existen funciones
P( x)
y
Q(y)
que satisfacen
8M 8N
8y
-
8x
=
N(x , y) P(x)
-
M(x, y)Q(y)
entonces un factor integrante para (2.44) es
¡.t(x, y)
=
eJ P (X)dxeJ Q(y)dy.
Obsérvese que el
Caso
IV incluye a los
Casos
1, II y III si tomamos
Q(y)
=
O,
P(x)
=
O
m
n
y
P(x)
= -,
Q(y)
= - ,
respectivamente.
x
y
