2.2. Ecuaciones
Diferenciales Homogéneas
Ponemos
x
=
vy
en la ecuación diferencial , de lo cual se obtiene
o equivalentemente
Integramos
yln v(vdy
+
ydv )
=
(v ylnv
-
y )dy ,
dy
ln vdv
=
-- o
y
v
In
v
-
v
= -
In
y
+
c.
En términos de la variable original , la solución es
EJEMPLO
5. Resolver
x(lnx
-1)
+
(y -
x)
lny
=
cy.
dy
dx
Solución. Escribimos la ecuación diferencial como
Hacemos
Entonces
Sustituyendo
Separando variables
e integrando
dx
~
x
v=
11..
=y=xv.
x
dy
dv
dx
=
x dx +v.
dv
e-v
+
v
2
x-+v=---
dx
v
dx
vevdv
=–
x
ve
V
-
e
V
=
In
Ixl
+
c.
La solución, en forma implícita es
•
•
I
ye'
-
xe'
- xln xl
=
ex.
Proposición. Las ecuaciones diferenciales de la forma
49
(2.21 )
1...,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50 52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,...252