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42
Capítulo
2. Ecuaciones
Diferenciales de
Primer Orden
EJEMPLO
11. Resolver
d
2
y
=
k JI
+
(~f
dX2
(a
-
x)
donde
a, k
son constantes tales que
a
E IR,
k
'"
0, 1 Y
x
<
a.
Solución. Si hacemos
dy
dz
d 2y
Z
=
dx ' dx
dx2'
la ecuación (2.15 ) se reduce a
dz
=
k
1f+Z2.
dx
a- x
Separando variables e integrando resulta
dz
lf+Z2
J
dz
lf+Z2
In (z
+
Ji+Z2)
=
In (z
+ Ji+Z2)
z+
Ji+Z2
donde
A
es una constante. Así que
kdx
a - x
J
kdx
a-x
-k ln(a
-
x)
+
InA
InA (a
-
X) - k
A(a
-
Xl-k,
:~
+
1
+
( :~
r
=
A(a
-
X) - k
(2.15)
(2. 16)
Para obtener
y
necesitamos hacer una segunda integración , pero antes escribimos (2.16)
en la forma
1+
( :~r
k dy
=
A(a
-
x) -
--
dx
1+
(:~r
( r
2
2k
kdy
dy
=
A (a
-
x) -
-
2A(a
-
x) -
-
+ -
dx
dx
1
A2 (a
_
X)-2k
_
2A(a
_
X)-kdy
dx
kdy
A2(a
-
X)-2k
-
1
2A(a
-
x)- -
dx
dy
A2(a
-
X)-2k
-
1
dx
2A(a
-
X)-k
dy
A
k
1 (
k
=
- (a
-
x) -
- -
a
-
x)
dx
2
2A
dy
[A
k
1 (
k]
=
-(a
-
x)-
- -
a
-
x) dx.
2
2A
