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Capítulo
2. &uaciones Diferenciales de Primer Orden
78. Sea
t
la tangente a una curva
e
en un punto
P.
Sea
F
el punto sobre el eje
x
tal
que
F P
es perpendicular al eje
x
y sea
T
el punto de intersección de
t
y el eje
x.
Encontrar la ecuación de la familia de curvas
e
las cuales t ienen la propiedad de
que la longitud
T F
es igual a la suma de la abscisa y de la ordenada de
P .
79 . Sea
t
la tangente a una curva
e
en un punto
P .
Encontrar la ecuación de la familia
de curvas
e
las cuales tienen la propiedad de que la distancia del origen a
t
es igual
a la abscisa de
P .
80. Sea
t
la tangente a una curva
e
en el punto
P
y sea
F
el punto del eje
x
tal que
PF
es perpendicular a dicho eje. Encont rar la ecuación de la familia de curvas
e
las cuales tienen la propiedad de que la distancia de
F
a
t
es constante.
2.8 Cambios de Variables Diversos
El cambio de variable es una idea genérica en Matemáticas , la cual como se ha visto
en las secciónes anteriores, también puede aplicarse al tratar de encontrar soluciones de
ecuaciones diferenciales. Sin embargo, deseamos enfatizar que no hay un método general
para proponer cambios de variable. Veamos algunos ejemplos adicionales.
EJEMPLO
1.
Resolver
Solución. Sea
u
=
e 2y .
Entonces
Sustituyendo en (2.75)
du
_
2Y2dy
dx -
e
dx'
1
du
2ydy
-- =e -.
2
dx
dx
1
du
ln x
-x-+u=-.
2
dx
x
Así, la ecuación se ha transformado en la ecuación diferencial lineal
cuya solución es
du
2
In x
-+-u= 2-
dx
x
X2 '
2
c
u
=
-(x ln x
-
x)
+ -.
X2
X2
Usando que
u
=
e
2y ,
encontramos la solución de la ecuación original en la forma
2
c
-(In x- l )+-
x
X2
2y
In
[~(ln
x
-
1) + ..:..]
x
X2
y
1 [2
c ]
- In -(In x- l )+- .
2
x
x2
(2.75)
1...,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85 87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,...252