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Capítulo
2. &uaciones Diferenciales de Primer Orden
EJEMPLO
.
Resolver
dy
2
Y
1
- =
y
- - - -
(2.82)
dx
x
x
2 '
Solución. Es claro que (2.82) es una Ecuación de Ricatti con
p(x)
=
1,
q(x)
=
- l / x,
r(x)
=
- l /x>'
Observando que
y¡
=
l /x
es una solución particular de (2 .82),
en este caso la ecuación (2.81) para
v
toma la forma
dV+(~_ ~) V=_ l ,
dx
x
x
esto es
dv
1
-+-v=- 1.
dx x
Un factor integrante de (2.83) es
¡.t(x)
=
e
J
~
=
x.
Multiplicando (2.83) por
¡.t(x)
y
resolviendo igual que antes , encontramos que
dv
x- +v
-x
dx
d
dx (xv)
-x
X2
xv
=
--+CI
2
v
X
el
e
-
X2
--+-=--
2
x
2x'
donde c
=
2c¡. Por lo tanto, de acuerdo con (2.79)
1
2x
y(x)
= -
+--
x
c -
X2
es una fami lia de soluciones de la ecuación diferencial (2.82).
EJERCICIOS
2.9
(2.83)
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Ricatti, utilizando la solución particu–
lar
y¡
indicada.
dy
2
1.
dx
=
-y
+
xy
+
1,
y¡
=
X
2.
~~
=
e
2x
+
(1 _
2e
X
)y
+
y2 ,
dy
4
1
2
3. -
= -- -
-y
+
y ,
dx
X2
X
2
y¡
= –
x
1...,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89 91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,...252