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Capítulo
3. Aplicaciones
de
las Ecuaciones Diferenciales
de Primer Orden
3.3 Aplicaciones a problemas relacionados con cre–
cimiento
y
decrecimiento
3.3.1 Desintegración Radiactiva.
Ley de desintegración radiactiva. La velocidad de desintegración de una sustancia
radiactiva en un instante dado es proporciona l a la cantidad de sustancia presente en ese
instante.
La vida m edia de una sustancia radiactiva es el tiempo necesario para que se desin·
tegren la mitad de los átomos de una cantidad inicial de dicha sustancia.
EJEMPLO
1.
La velocidad con que se desintegran núcleos radiactivos es proporcional
al número de núcleos que están presentes en una muestra dada. La mitad del número
origina l de núcleos radiactivos ha experimentado la desintegración en un período de 1500
años.
a)¿Qué porcentaje de núcleos rad iactivos originales continuarán después de 4500 años?
b)¿En cuántos años quedará solamente un décimo del número original de núcleos radiac–
tivos?
Solución. Sea
x(t)
la cantidad de núcleos radiactivos presente después de
t
años y sea
Xo
el número origi nal de núcleos radiactivos. Entonces
x(O)
=
xo, x( 1500)
=
~o
y
~~
es
la velocidad con la que se desintegran los núcleos al tiempo t .
Así , este problema queda formulado por la siguiente ecuación diferencial
dx
dt
=
kx,
dónde
k
es la constante de proporcionalidad , junto con las condiciones
x(O)
x( 1500)
Xo
Xo
2'
La solución de la ecuación (3 .3) es ya conocida
x(t)
=
ce
k
' .
Usando la condición inicial
x(O)
=
Xo
encontramos que
x(t)
=
xoe
k
' .
(3.3)
(3.4)
a) Para calcula r el porcentaje de núcleos radiactivos originales después de 4500
arIOS,
determinamos
x(4500) .
Considerando que
x( 1500)
=
xo/2
obtenemos
xoe1500k
=
IO
2
1...,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97 99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,...252