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Capítulo
3.
Aplicaciones
de
las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
La solución general de la ecuación diferencial es ya conocida
T (t )
=
ce
k
'.
Como
T (O)
=
100 se tiene que
T (t)
=
1000".
Usando además que
T(20)
=
50 resulta
k
Sustituyendo
k
en (3.12) tenemos que
50
1
2
- 0.034657359.
T(t )
=
100e-0.034657359'.
(3.12)
a) El tiempo necesario para que la temperatura de la barra sea de
25°F
se obtiene
resolviendo la ecuación
T (t)
=
25 , esto es
100e- 0.034657359'
=
25
,
de donde
In
0.25
t
=
-0.034657359
=
40.
Así que la barra tardará 40 minutos en alcanzar una temperatura de
25°F.
b) La temperatura de la barra después de 10 minutos es igual a
T(10)
es decir, será aproximadamente de 71
°
F.
EJEMPLO
2. Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a
una temperatura constante de
1°F.
Si después de 20 minutos la temperatura del cuerpo
es de
40°F
y ·después de 40 minutos la temperatura del cuerpo es de
20°F ,
hallar la
temperatura inicial de éste.
Solución. Denotemos nuevamente con
T(t)
a la temperatura ·del cuerpo en un instante
dado. Así
T(20)
=
40°
F, T(
40)
=
20°F,
y
~~
es la velocidad con que se enfría el cuerpo.
Ahora la temperatura constante del medio ambiente es
T
A
=
1°F.
Por la ley de enfriamiento de Newton , este problema se formula de la siguiente forma
