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3.4. Mezclas
109
c) ¿Cuánta sal estará presente después de un t iempo I"rgo?
Solución. Denotemos con
A (t)
el número de libras de sal en el tanquc después de
t
minutos. Entonccs
dA
mide la tasa de cambio de
A (t)
COu respecto al tielllpo.
dt
Por conservac ión de masa., tenemos que
dA
dt
=
Rl -
R
2 ,
(;).2 1)
donde
R ,
Y
R
2
son la rapidez con que entra
y
sale la sal del tanque, respectivamente.
Sean
e,
y
e
2
el gasto volumétrico de las soluciones de ent rada
y
salida al tanque
.Y
e"
e
2
sus concentraciones de sal. Entonces
e ,e,
=
(2~)
(6
gal
)
=
12~
gal
m'ln
m'Ln
R
2
=
e
2
e
2
=
(A(t)~)
(6
gal
)
=
~A (t)~
200 gal
mm
100
mm
En consecuencia, la ecuación (3.21 ) se reduce a
o equivalentemente
dA
3
- =
12--A
dt
100
dA
~A
-
2
dt
+
l OO
- 1 ,
la cual resolvemos sujeta a la condición in icial
A(O)
=
20.
a) La solución a este problema de valor inicial es
A (t)
=
400 - 380e - ,;.'
que nos da la cantidad de sal a l tiempo
t
(en minu tos).
b) Después de 30 minutos la cantidad de sal es
9
A (30 )
=
400 - 380e -TIj
=
245 50 lb .
c) Después de un tiempo largo, esto es, cuanto
t
tiende a infinito. vemos que
A
se aproxima
a l valor de 400 lb.
EJEMPLO
2. Suponga ahora que en el ejemplo anterior la solución adecuadalllente
mezclada se bombea hacia afuera a una tasa de 4 gal/ min. Determine
A(t ).
Solución. El volumen
V(t)
de la solución en el tanque varía a una razón de
(el -
e
2
)
gal
=
2
gal
m'l.n
m'ln
