3.4. Mezclas
La solución del problema de valor inicial
(3 .22 )-(3.23)
viene dada por
1
A(t)
=
60 -
t -
-(60 -
t)3
3600
o
:S
t
:S
60 .
El tanque se vacía después de
60
minutos. Por otro lado
A'(t)
=
- 1
+
_ 1_(60 -
t )2
1200
'
de modo que
A'(t)
=
Osi y sólo si
t
=
60
±
V1200
111
Como
60
+
V1200
rf.
[0, 60],
A(O)
=
O,
A(60 )
=
OY
A(60
-
V1200)
=
~v 1 200
se
concluye que la cantidad máxima de sal que llega a tener el tanque es
~
V1200
lb .
EJEMPLO
4. Una cierta presa, en su máxima capacidad , cont iene
1,000
millones de m
3
de agua. En un instante dado, estando llena la presa, t iene una masa de 2 toneladas de
contaminantes , distribuida en forma homogénea. Suponga que en temporada de lluvias
entra agua a la presa a razón de
10
millones de m
3
por día, con una masa de contaminantes
de
0.09%
toneladas por millón de m
3
de agua y sale con la misma rapidez. Determine
la cantidad de contaminantes en la presa en cualquier instante. ¿En cuánto t iempo se
reducirá la contaminación total de la presa a 1.2 toneladas?
Solución. Denotemos cor.
A(
t)
el número de toneladas de contaminantes después de
t
días.
En este caso, tenemos la ecuación diferencial
dA
=
(10)(0.0009) _ (10)
A(t )
dt
1000 '
junto con la condición inicial
A(O)
=
2. La solución está dada por
,
A(t )
=
0.9
+
l.l e-
>O0 .
Buscamos ahora el valor de
t
para el cual
A(t )
=
1.2, es decir
de donde se obtiene el valor de
t
=
129 .9
días.
EJEMPLO
5. Un tanque contiene inicialmente
100
dI de agua, en el cual se disuelven
80 kg de sal. Se introduce en el tanque agua pura a velocidad de 4 dl/ min y la mezcla,
conservada homogénea mediante agitación, sale a la misma velocidad y va a parar a un
segundo tanque que contiene al principio
100
di de agua pura. Agitando se mantiene
1...,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112 114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,...252