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Capítu lo
4.
Ecuaciones
Diferenciales Lineales de
Segundo Orden
=
xy¡(x).
Luego, para obtener una segund a solución linealmente independiente con
y¡(x),
basta
con multiplicar
y¡(x)
por
x.
La solución general de (4.18) en este
caso
es
o bien
y(x)
=
(c¡
+
c2x)eTX.
CASO 3. Supongamos finalmente que las raíces son complejas
y
denotémoslas por
T¡
=
Q
+
i{3;
T2
=
Q -
i{3.
Entonces dos soluciones l.i . de la ecuación diferencial son
Sin embargo, estamos interesados en encontrar soluciones con valores reales. Tenemos
que
y(x)
=
k¡ e(o+i¡j)x
+
k 2e(o-i¡j)x,
es solución de la ecuación diferencial, para cualesquier
constantes
k¡
y
k 2.
Pero, de la fórmula de Euler se sigue que
y(
x)
=
k
1
e
ox
+
i
/3x
+
k
2
e
QX
-
i
/3x
k¡elXXei/JX
+
k
2 e lXX e-
i
¡jX
eQX( k¡ei/lx
+
k 2e- i /l X)
eOX[k¡(cos{3x
+
isen {3x)
+
k 2(cos{3x -
i sen {3x)[
eOX[(k¡
+
k 2) cos{3x
+
(k¡ - k 2
)i
sen {3xJ.
1
Ahora bien, si en particular tomamos
k¡
=
k 2
=
2'
obtenemos que la función
es una solución de la ecuación de variable real con valores reales.
Análogamente, si
k¡
= -
~;
k
2
=
~
resulta la función
1...,126,127,128,129,130,131,132,133,134,135 137,138,139,140,141,142,143,144,145,146,...252