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Capít ulo
4. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo
Orden
e) o'
es l/n a.
raíz doble
de
la ecuación a uxiliar.
Entonces
ao'
+
60
+
c
=
0,
y
2ao
+
6
=
O
(o
=
- 6/ 2a
es la raíz doble), de manera
que el lado izquierdo de (4. 33)
se
reduce a
aQ;;(x)
y
para satisfacer la igualdad
se requiere buscar una solución particular de la forma de producto de
e''"
por un
polinomio de grado
n
+
2. Los términos independiente y lineal se anulan al derivar
dos veces , por lo que pueden omit irse en la forma de
Yp·
Por consiguiente en este
caso proponemos
CASO
II!.
g(.c)
=
P (x)eOXcos{3x+ Q(x)eOXse n {3x,
donde
P(x)
y
Q(x)
son polinomios.
Podemos exami na r este caso en forma análoga al caso Il , usando que
por lo cual
ei/3x
_
e -
i
{3x
sen
{3x
= -----;:-,----
2i
y
considerando de manera independiente las partes real e imaginaria, podemos hallar
soluciones que no contengan números complejos de la siguiente forma:
a) Si
0 +
i{3
no es raíz de la ecuación auxiliar , buscamos una solución particular de
la forma
Yp(x )
=
u(x )eOX
cos
{3x
+
v( x )eO X
sen
{3x,
(4.34 )
donde
u(x)
y
v(x )
son polinomios cuyo grado es igual al mayor de los grados de
P (x)
y
Q(x).
b) Si
0 +
i{3
es raíz de la ecuación auxiliar, hacemos
Yp (x)
=
x [u(x )eO X
cos
{3x
+
v(x )eO X
sen
{3x]'
(4.35 )
con
u(x)
y
v(x)
como antes.
Un caso particular es cuando
g(x)
tiene la forma
g(x)
=
a cos{3x
+
bsen {3x,
a, b
E R,
es decir
P (x)
y
Q(x)
son de grado cero y o
=
O.
Entonces los resultados anteriores se
reducen a los siguientes:
