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4.6. Método
de
Coeficientes Indeterminados:
Superposición
Sustit uyendo
YP'
Y~
y
Y~
en (4.39) encontramos que
por lo cual
(- 4A cos 2x
-
4B sen2x)
+
(- 2A sen2x
+
2B cos 2x)
=
(- 4A
+
2B )
cos
2x
+
(- 2A
-
4B )
sen
2x
- 4A
+
2B
1,
- 2A - 4B
O.
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos
En consecuencia
1
A =
--
5'
B = ~ .
10
1
1
Yp(x)
=
-5 cos 2x+
lO sen2x
y la solución general de (4.39) es
1
1
y(x)
=
e,
+
e2
e-
x
-
5
cos
2x
+
10 sen
2x.
EJEMPLO
4. Resolver
y"
+
y'
+
y
=
xe
X
•
cos
2x ,
cos 2:z;,
151
(4 .40)
Solución. La ecuación diferencial homogénea t iene la ecuación auxiliar
T
2
+
T
+
1
=
O,
cuyas raíces son
T' .2
= -
~
±
4i.
Entonces
y,(x)
=
e-
x
/
2
(e,
cos
V;
x
+
C2
sen
V;
x) .
Una solución part icular de (4.40) tiene que ser un producto de fun ciones , un polinomio
de grado uno por la función exponencial, es decir
Yp
=
(Ax
+
B )e
x
.
Se t iene que
Y~
(Ax
+
B )e
X
+
Ae
x
Y~
=
(Ax
+
B )e
X
+
Ae
x
+
Ae
x
=
(Ax
+
B )e
X
+
2Ae
x
.
Sustituyendo en (4.40) resulta
(Ax
+
B)e
X
+
2Ae
x
+
(Ax
+
B )e
X
+
Ae
x
+
(Ax
+
B )e
X
xe
x
3(Ax
+
B )e
X
+
3Ae
x
xe
x
3Axe
x
+
(3A
+
3B )e
X
xe
x
.
